Principios básicos de la probabilidad

                        Principios Básicos De La Probabilidad 

                                     

                                                  Introducción 

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo mas sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy sencillos, algunas personas los utilizan para tomar decisiones en sus vidas. En principio no sabemos cual ser´a el resultado del experimento aleatorio, así que por lo menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. El espacio muestral (o espacio muestra) de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega). En algunos textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del t´termino sampling space de la lengua inglesa equivalente a espacio muestral. Llamaremos evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc.

                                        

Probabilidad 

La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).

Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades sería obtener la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Un suceso puede ser improbable (con probabilidad cercana a cero), probable (probabilidad intermedia) o seguro (con probabilidad uno).

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias, la administración, contaduría, economía y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

Tipos de  Probabilidad

Probabilidad Clásica

Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables,  y m de ellas poseen una característica A

Probabilidad subjetiva

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir.

Probabilidad empírica o frecuencial

Una teoría de mayor aplicación y muy sostenida es la basada en la frecuencia

relativa. Puede atribuirse a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación

de la probabilidad en la Física, la Astronomía, la Biología, las Ciencias Sociales y los

negocios.

Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por

Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”.

Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos

juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría.

Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E,

intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de

repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no

se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n₁, n₂ ….

Espacio Muestral

En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo (ver más adelante).

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio muestral es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral con estructura de σ-álgebra,¹ llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

Evento Aleatorio

un evento aleatorio o suceso aleatorio es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. En teoría de la probabilidad a cada evento aleatorio se le puede asignar una medida de probabilidad, y el conjunto de todos los sucesos aleatorios constituye una σ-álgebra de conjuntos.

Formalmente, sea  un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde  son una serie de posibles resultados. En el caso de espacios probabilísticos infinitos existe el requerimiento de que un subconjunto  es un evento aleatorio sólo si , es decir, que se trate de un subconjunto que específicamente pertenezca a la σ-álgebra usada para definir el espacio muestral.

Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

Tipos de Eventos

Evento simple: un resultado posible en un espacio muestral 

Evento imposible: el que nunca ocurrirá 

Evento seguro: el que siempre ocurrirá 

Eventos dependientes: aquellos en los que la ocurrencia de un evento afecta la ocurrencia de otros 

Eventos independiente: aquellos en los que la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia de los otros 

Eventos mutuamente excluyentes: aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente 

Eventos no excluyentes: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B) 

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyentes. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyentes. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.

siendo P (B|A) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A.

Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?

Solución:

Sea los eventos

A1 = {primer objeto defectuoso}, A2 {segundo objeto defectuoso}

entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:

P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99

así probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es

P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1)

            (20/100)(19/99)

             19/495 = 0.038

Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2)

                  (20/100)(19/99)(18/98)

                  19/2695 = 0.007

Regla de Laplace

La Regla de Laplace establece que:

• La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
• La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.

Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.

• La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:

P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles

Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.

Distribución binomial

La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.

1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
3. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.

Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).

Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:

P (x = m) = (nCm)(P^m)(1−P)^n−m

Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.

En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](p^m)(1−p)^n−m

Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Cálculo de Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?

P(x = 10) = 15C10(0,15)¹⁰(0,85)⁵ = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)¹⁰(0,85)⁵ = 7,68 * 10⁻⁶ Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1)

P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)

P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)

P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)

Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben:

a.− al menos 5

b.− más de 12

a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es:

P(x ≥ 5) es decir, que:

1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] =

1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618

Nota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales sinónimas.

Ejemplo: La entrada al cine por lo menos tendrá un costo de 10 soles (como mínimo podría costar 10 soles o más).

b.− la probabilidad de que aprueben más de 12 es P(x > 12) es decir, que:

P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)

P(x > 12) = 1,47 *10⁻⁹ +3,722 *10⁻¹¹ +4,38 *10⁻¹³ = 1,507 *10⁻⁹

La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como:

E(x) = np = 15(0,15)=2,25

Y la varianza del número esperado de éxitos se puede calcular directamente:

Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadísticas y probabilidades, con sus diferentes diagramaciones como: diagrama de barras. diagrama de línea. y diagrama de círculos que se aplican de acuerdo al tipo de estadísticas y probabilidades matemáticas.

Conclusión 

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. 

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica,esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad

 

Bilbiografia

http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf

https://sites.google.com/site/623probabilidad/probabilidad-clasica-empirica-y

subjetiva

http://lya.fciencias.unam.mx/lars/libros/pe-agosto-2006.pdf

https://prezi.com/brr9xgydxwxh/principios-de-probabilidad/

https://es.slideshare.net/pilarupav/4-principios-de-probabilidad?next_slideshow=1